جستاری در مورد جایگاه ریاضیات در هنر «موریس اشر»

شکل 1 . دایره محدود III اثر موریس اشر (برای مشاهده تعدادی از کارهای اشر به این لینک در سایت ویکی‌گونیا مراجعه کنید)

اغلب افراد، «موریس کورنلیس اشر[1]» (1898-1972) را به‌عنوان یک نقاش هلندی می‌شناسند و آثارش را تحسین می‌کنند، اما کمتر کسی از عمق ریاضیاتی کارهای او مطلع است. می‌توان گفت، از زمان رنسانس به بعد، هیچ هنرمندی در خلق آثارش به‌اندازة‌ اشر درگیر ریاضیات نبوده‌ است. هدف اصلی او از درک ایده‌های ریاضی، به‌کارگیری آنها در هنرش بود. بخش زیادی از آثار اشر درواقع تشبیهات بصری از مفاهیم مجرد ریاضی هستند؛ به‌ویژه مفهوم «بی‌نهایت» که اشر تمایل شدیدی در به‌تصویرکشیدن آن داشت. هرچند اشر با وجود چندین‌سال تحقیق و مطالعه ریاضی، بهره‌مندی از توانایی درک ریاضی را انکار می‌کرد! پسرش «جورج» می‌گوید:

«پدر در درک اینکه کارِ ذهن او شبیه به یک ریاضی‌دان است، مشکل داشت. او از علاقة ریاضی‌دانان و دانشمندان به آثارش بسیار لذت می‌برد. اما متأسفانه، زبان تخصصی ریاضیات، این حقیقت را از او پنهان کرد که ریاضی‌دانان نیز با همان مفاهیم او دست‌وپنجه نرم می‌کنند.»

اشر نیز مانند عموم تصور می‌کرد که ریاضیات همان‌چیزی است که در مدرسه با آن روبه‌رو می‌شد؛ یعنی نمادها، فرمول‌ها و مسائل کتاب درسی که با روش‌های تعیین‌شده، حل می‌شدند. اما ریاضی‌ورزی به تعبیر «بنجامین دیکمن»[2]، شگفت‌زده‌شدن از پدیده‌ها و پرسش‌کردن دربارة آنهاست. ریاضی‌دان تلاش می‌کند به این پرسش‌های مطرح‌شده پاسخ بدهد، پاسخ‌ها را با دیگران به اشتراک بگذارد و نتایج را تعمیم دهد تا نتایج جدیدی بیافریند. حتی در این میان ممکن است اصطلاحات جدیدی آفریده شود تا نتایج زیباتر و بهتری به‌دست‌بیایند. با این تعبیر، اشر به‌زیبایی ریاضی‌ورزی می‌کرد. اما در آن‌زمان حتی به ذهنش هم خطور نمی‌کرد که تلاشش برای صورت‌بندی پرسش‌ها و یافتنِ پاسخ آنها به شیوة خودش، «ریاضیات» محسوب شود.

 

چگونگی ورود ریاضیات به آثار اشر

«موریس کورنلیس اشر» در کشور «هلند» و در خانواده‌ای پرجمعیت به‌دنیا آمد. پدرش مهندس عمران بود و چهار برادر بزرگ‌تر او، همگی دانشمند بودند. آموخته‌های اشر در خانه، چنان‌که خود اظهار کرده، بسیار بیشتر از دوران مدرسه بوده است. او می‌گوید:

«من دانش‌آموز بسیار ضعیفی در جبر و حساب بودم و همچنان هم با انتزاع اَشکال و حروف مشکل دارم. اما در هندسة فضایی بهتر بودم، چراکه با تخیل من سازگارتر بود. ولی در همین موضوع هم، هیچ‌گاه در مدرسه برتر نبودم.»

در سال 1919، اشر با هدف تحصیل معماری، وارد «مدرسه هنرهای تزئینی و معماری هارلِم» شد، اما به ‌توصیة معلم نقاشی و موافقت والدینش، خیلی زود به تحصیل در رشته «هنرهای طراحی و گرافیک» پرداخت. در حین اتمام تحصیلات خود در مدرسه هارلم در سال 1922، به «ایتالیا» و «اسپانیا» سفر کرد و در این سفرها طرح‌هایی از مناظر و جزئیات ساختمان‌ها به‌همراه نقاشی‌های بسیار دقیق از گیاهان و موجودات کوچک در طبیعت تهیه کرد. او با بازدید از قصر «الحمرا»[3] در اسپانیا، مجذوب کاشیکاری‌های آنجا شد و بخشی از آنها را به‌دلیل «پیچیدگی زیاد و هنر هندسی» طراحی کرد. علاقه اشر در طراحی در این حوزه نیز افزایش یافت، به‌طوری‌ که در میانة دهه 1920، تعدادی موزائیک‌ طراحی کرد که از تکرارهای یک‌شکل ساخته می‌شد

شکل 2 . نمونه‌ای از کاشیکاری‌های قصر الحمرا در شهر گرانادا در کشور اسپانیا که موریس اشر در آثارش از آنها الهام گرفت.

 

و رنگ آنها به‌صورت تناوبی تغییر می‌کرد. برخلاف کاشی‌های مربوط به شمال آفریقا، که همواره دارای اشکال هندسی بودند، کاشی‌های اشر، که او آنها را «موتیف» می‌نامید، باید به‌عنوان موجود زنده شناخته شوند، حتی اگر تخیلی باشد. این تلاش‌های اولیه نشان می‌دهد که اشر (حداقل به‌طور بصری) تبدیل‌های حافظ تجانس -انتقال‌ها، دوران‌های نیم‌دور، بازتاب‌‌ها و بازتاب‌های محوری‌- را درک کرده‌ است.

اشر در سال 1924 ازدواج کرد و در شهر «رُم» اقامت گزید. تا سال 1935 به سفرهای خود، بیشتر در جنوب ایتالیا، برای طراحی ادامه داد. در 1935 به‌دلیل ظهور فاشیسم در ایتالیا و شرایط بهداشتی نامناسب فرزندانش، به «سوئیس» نقل‌مکان کرد.

در سال 1936، یک سفر دریایی طولانی را آغاز کرد و سه‌روزِ اول را در الحمرا برای تهیه طرح‌های دقیق رنگی از کاشی‌های «ماژولیکا»[4] گذراند. در این بازدید دوم از الحمرا، تغییر عظیمی در کار او ایجاد شد: مناظر، جای خود را به تصویرهای ذهنی دادند. دیگر طراحی‌ها و نقاشی‌های او از روستاهای کوهستانی، طبیعت و معماری الهام نمی‌گرفتند، بلکه اکنون ایده‌ها تنها در زوایای ذهن او یافت می‌شدند.

در 1937 خانواده اشر به حومه «بروکسل» نقل‌مکان کردند و فرزند سوم او در آنجا متولد شد. در اکتبر همان سال، اشر بخشی از نقاشی‌های متقارن خود را به برادر ناتنی‌اش، که استاد زمین‌شناسی بود، نشان داد. برادرش بلافاصله متوجه شد که این الگوهای متناوب، موردتوجه بلورسازان قرارمی‌گیرد، زیرا بلورها توسط ساختار مولکولی متناوب خود تعریف می‌شوند. او تعدادی مقاله فنی برای اشر فرستاد و اشر از میان آنها مقالات «هاگ»[5] و «پولیا»[6] را مفید یافت. در مقالة هاگ، تعریف روشنی از صفحه-پرکن‌های[7] «منظم» و تصاویری از آنها وجود داشت. اشر در یکی از کتاب‌های خود، تعریف هاگ از «تقسیم منظم صفحه» را نقل کرده‌ است:

«تقسیمات منظم صفحه شامل چندضلعی‌های محدبِ متجانس است که به یکدیگر متصل هستند.»

شکل3. یک کپی از نمودار پولیا امضاشده توسط خود او

در همان کتاب، اشر تعدادی از کاشیکاری‌های هاگ را نیز رسم کرده ‌است. او پس از مطالعه آنها، بلافاصله متوجه شد که کلمة «محدب» زائد است، زیرا با دستکاری شکل کاشی، توانست چندین نمونه از کاشی‌های چندضلعی غیرمحدب را ترسیم کند. همچنین دریافت که کلمة «چندضلعی» هم برای اهداف او بسیار محدودکننده است و به‌راحتی می‌توان آن را با «کاشی» یا «شکل» جایگزین کرد.

مقالة پولیا نیز تأثیر شگرفی روی اشر گذاشت. اشر پیش‌ازآن به‌صورت شهودی با تبدیلات حافظ تجانس پولیا آشنایی داشت، اما احتمالاً هیچ‌یک از بحث‌های مرتبط با گروه‌های تقارنی را درک نکرده بود. آنچه او را تحت‌تأثیر قرار داد، نمودار تمام‌صفحة پولیا بود که کاشیکاری واضحی را برای هریک از هفده گروهِ تقارنی صفحه نشان می‌داد.

 

اشر در ردای یک محقق ریاضی

اشر بعد از مطالعة مقالات هاگ و پولیا، تصمیم گرفت که اَشکال بیشتری از کاشی‌ها را پیدا و آنها را دسته‌بندی کند. در ادامه مسائلی آمده‌ است که او با استفاده از روش خود دنبال می‌کرد:

1) یک کاشی برای آنکه یک تقسیم منظم از صفحه را تولید کند، چه شکلی می‌تواند داشته باشد؟

2) به‌علاوه، چگونه لبه‌های این کاشی توسط طولپایی‌ها (ایزومتری‌ها) به هم مرتبط می‌شوند؟

تنها ایزومتری‌هایی که اشر برای نگاشتن یک کاشی به کاشی مجاور خود استفاده می‌کرد، انتقال‌ها، دَوَران‌ها و بازتاب‌های محوری بودند. او بسیاری از دستاوردهای خود را در دفترچه‌ای ثبت می‌کرد که درواقع دایره‌المعارف شخصی‌اش درباره تقسیمات منظم صفحه و چگونگی ایجاد آنها بود. درحالی‌که تلاش می‌کرد تا پاسخ به آن دو سؤال را بیابد، صفحات کتاب‌های درسی را با طرح‌های خود از کاشیکاری‌ها پر می‌کرد و آنهایی را که مؤثر نبودند و یا پیش از این کشف شده بودند، خط می‌زد. هربار که یک تقسیم منظم از صفحه را پیدا می‌کرد، آن را ثبت و رئوس آن را با حروف، علامت‌گذاری می‌کرد.

 

شکل 4. صفحه یک کتاب که روش تحقیق اشر برای تقسیم منظم صفحه را نشان می‌دهد.

تعاملات اشر با ریاضی‌دانان

تا سال 1954 تنها تعداد کمی از ریاضی‌دانان غیرهلندی، با کارهای اشر آشنا بودند. آن‌سال، کنگره بین‌المللی ریاضیات در «آمستردام» برگزار شد و «بروین»[8] نمایشگاهی از آثار اشر، شامل نقاشی‌های متقارن و گوی‌های حکاکی‌شده، در «موزه استدلیک»[9] ترتیب‌داد.

 

شکل 5. مثلث پنروز

زمانی که «راجر پنروز»[10] از نمایشگاه دیدن کرد، مجذوب آن شد. خصوصاً نقاشی «نسبیت» اشر توجه‌اش را بسیار جلب کرد. این نقاشی، سه راه‌پله را در یک آرایش مثلثی نشان می‌دهد که افرادی به‌طور هم‌زمان به‌روشی غیرممکن و بر ضد قانون جاذبه از آنها بالا یا پایین می‌روند. پنروز از این نقاشی الهام گرفت تا ساختاری را پیدا کند که هریک از اجزای آن به‌طور جداگانه سازگار هستند ولی اتصال آنها غیرممکن است. پنروز زمانی که به انگلستان بازگشت به ایدة «مثلث پنروز»[11] دست یافت.

 

شکل 6. شکل 7 از مقاله کوکستر به همراه علامت‌های اشر (که برای بهتر دیده شدن با کامپیوتر ارتقا داده شده‌است)

«کوکستر»[12] نیز بعد از مشاهدة آثار اشر در نمایشگاه و بازگشت به کانادا، نامه‌ای به اشر برای تحسین او فرستاد. سه سال بعد، دوباره برای او نوشت که می‌خواهد از دو نقاشی متقارن اشر در یکی از مقالات خود استفاده کند. این مقاله، دربارة تقارن در صفحه اقلیدسی، مدلِ دیسک پوآنکاره[13] از صفحه هذلولوی و کره بحث می‌کند. وقتی اشر نسخه‌ای از مقاله را دریافت کرد، بسیار متعجب شد. کاشیکاری هذلولوی‌شکل، با کاشی‌های مثلثی که اندازة آنها در حالِ کم شدن است و (از دید نظری) بی‌نهایت‌بار در محدودة یک دایره تکرار شده‌اند، دقیقاً همان‌چیزی بود که اشر به‌دنبال آن می‌گشت تا بتواند «بی‌نهایت» را در یک فضای متناهی تسخیر کند.

در دو سال پایانی زندگی اشر، «برونو ارنست»[14]، معلم ریاضی مشهور، برای نوشتن کتابی با او همکاری کرد که در آن، آثار این هنرمند را با توجه ویژه‌ای به زیربنای ریاضیاتی بسیاری از نقاشی‌های او تفسیر می‌کرد. این کتاب به‌همراه آثار گرافیکی اشر در سال 1976، یعنی چهارسال بعد از درگذشت او، منتشر شد.

 

کارهای ریاضیاتی اشر

اشر از نقش معلمی، یعنی سخنرانی برای مخاطبان گسترده و متنوعی چون اجتماعات علمی، دانش‌آموزان مدارس و بازدیدکنندگان و مخاطبان موزه‌ها، لذت می‌برد. آگهی سخنرانی او (شکل 7)، در پنج نوع کاشیکاری مختلف، چگونگی اقدامات این هنرمند را نشان می‌دهد؛ یعنی نحوة انتقال‌ها، دَوَران‌ها و انعکاس‌هایی که از طریق آن‌، یک کاشی به کاشی مجاورش نگاشته می‌شود.

 

شکل 7. بخشی از سخنرانی اشر درباره تقسیمات منظم صفحه که پنج «سیستم چهارضلعی» را نشان می‌دهد.

در این شکل، اعداد، جنبه‌های مختلفی از کاشی‌ها را مشخص می‌کنند و دایره‌ها و مربع‌ها، مرکزهای دَوَران این کاشی‌ها را نشان می‌دهند. به‌علاوه، خطوط منقطع مجاور، مانند ریل‌هایی هستند که کاشی‌های مجاور در میان آنها جابه‌جایی داشته و نسبت به هم تقارن دارند. اشر با استفاده از رنگ‌های تیره و روشن، نشان داده ‌است که انتقال، تقارن و دَوَرانی که در کاشیکاری‌هایش استفاده کرده، حافظ طول، اندازه و تجانس هستند و در اصطلاح، «ایزومتری یا طولپا»‌ هستند.

هنگامی که کتاب «آثار گرافیکی»[15] اشر در سال1960 در هلند به‌چاپ‌رسید، بلورشناس معروف آن زمان، «ترپسترا[16]»، به‌منظور آموزش تقارن و گروه‌های متقارن در ریاضی، مقدمه‌‌ای در آغاز کتاب نوشت. زمانی که نسخة انگلیسی کتاب انتشار یافت، مقدمة‌ آن به‌عنوان مقالة‌ جداگانه‌ای چاپ شد، اما در نسخة‌ چاپی آمریکایی کتاب حذف شد، زیرا ناشر هم مانند اشر تصور می‌کرد که ارائه‌ چنین توضیحاتی، «بیش‌ازحد فنی» است.

«کرولاین مک گیلاوری»[17]، بلورشناس دانشگاه آمستردام، اولین دانشمندی است که از هنرِ اشر به‌عنوان ابزاری برای آموزش بهره برد. او در جایی عنوان می‌کند که مطالعة‌ کتاب «نظریه‌های فردی عامی»[18]، انقلابی در دیدگاه او ایجاد کرده ‌است. این کتاب، شامل کاربردهایی از گروه‌های دوبعدی دَوَران‌های 2،3 و 6 رنگ با بازتاب‌های محوری یا بدون آن بوده‌ است. مشاهدة‌ چنین مطالبی، باعث ایجاد جرقة همکاری مک گیلاوری با اشر شد تا با استفاده از نقاشی‌های متقارن اشر، طبقه‌بندی کاشی‌های متناوباً رنگ‌شده را بر اساس تقارن آنها، در قالب نوشتاری به دانشجویان مبتدی زمین‌شناسی آموزش دهد. اتحادیه بین‌المللی بلورشناسی نیز با حمایت مالی از چنین ایده‌ای موافقت کرد.

کوکستر احتمالاً اولین ریاضی‌دان در خارج از هلند است که از کارهای اشر در متون ریاضی استفاده کرده ‌است. مقدمة‌ او بر هندسه، که در سال 1961 منتشر شد، در آن‌زمان به‌دلیل کاربرد عناوین غیراستانداردی چون «تقارن» و «صفحات کاشیکاری‌شده» که با الهام از نقاشی‌های متقارن اشر از آنها استفاده کرده ‌بود، بسیار عجیب و نامعمول شمرده می‌شد.

شکل 8 . نمودار ارسالی اشر برای کوکستر در مورد نحوه انجام کاشیکاری هذلولوی توسط او (ترسیم مجدد توسط ریاضی‌دان آمریکایی دوریس شات اشنایدر[19])  

 

«مارتین گاردنر»[20]، ستونی را در مجله «ساینتیفیک امریکن»، به شرح این کتاب، که حاوی تصاویر آثار تقارنی اشر بود، اختصاص داد تا توجه جامعة‌ علمی را  به آن جلب کند. دیری نگذشت که متون ریاضی و مقالاتی در شرح و آموزش نقاشی‌های متناوب اشر منتشر شدند. با وجود اینکه اشر در آثارش با بهره‌گیری از ابزارها و مفاهیم ابتدایی همچون «طولپایی»، «تشابه» و «تقارن»، کارهای درخشانی پدید می‌آورد، این طرح‌ها می‌توانستند هم‌زمان برای آموزش مفاهیم «جبر مجرد» و «نظریه گروه‌ها» که انتزاعی و دشوار هستند نیز کارآمد باشند.

«مارجری سنکال»[21]، در مقاله‌ای درباره‌ چگونگی کاربرد آثار اشر به‌جهت آموزش بهتر مفاهیمی چون «گروه»، «گروه‌های جابه‌جایی و ناجابه‌جایی»، «عمل گروه»، «مدارها»، «مولدها»، «زیرگروه‌ها»، «هم‌مجموعه‌ها»، «زیرگروه‌های نرمال»، «توسیع گروه‌ها» و دیگر موارد این‌چنینی صحبت می‌کند.

آموزگاران و همچنین متون ریاضی و علمی، از آثار اشر برای هنرمندانه به‌تصویر‌کشیدن اشیای ریاضی چون «گره‌ها[22]»، «نوار موبیوس[23]»، «مارپیچ‌ها»، «فراکتال‌ها»، «چندوجهی‌ها»، «تقسیم فضاها» و نیز به‌منظور ارائه‌ استعاره‌های بصری جذاب در بیان مفاهیم انتزاعی ریاضی مانند «بی‌نهایت»، «دوگان[24]»، «نسبیت»، «ارجاع به خود[25]»، «بازگشت[26]»، «تغییرات توپولوژیک» و… استفاده کرده‌اند.

«داگلاس هوفشتاتر[27]»، ریاضی‌دان و فیزیک‌دان مشهور آمریکایی، در کتاب «گودل، اشر، باخ: بافتة گران‌سنگ ابدی[28]» که در سال 1980 برندة‌ «جایزه پولیتزر» شده‌ است، می‌کوشد تا با استفاده از آثار اشر، پدیده آگاهی را به‌کمک مفاهیمی چون «خودارجاعی» و «بازگشت» توضیح دهد.[29]

به‌طور کلی عموماً مخاطبان هنر، خودآگاه یا ناخودآگاه، خوانش فردیِ خود را به اثر هنری فرافکنی می‌کنند؛ بنابراین محتمل است که برداشت‌ ریاضی‌دانان از نمایش ایده‌‌هایی چون بی‌نهایت یا دیگر مفاهیم انتزاعی ریاضی در آثار اشر نیز منطبق بر نیّت شخص هنرمند نباشد. اما باید این نکته را نیز درنظرگرفت که اشر خود، شیفتة‌ چنین مفاهیمی شد و تلاش کرد تا آنها را در آثارش مجسم کند. شیفتگی او به مفهوم بی‌نهایت و چگونگی دریافت آن، زمینة‌ اصلی بازگشت دوبارة او به اجرای چنین آثاری بود. مفاهیم ریاضی، به‌ویژه بی‌نهایت و دوگان، منبع الهام بسیاری از آثار اشر بوده‌اند.

 

تحقیقات ریاضی مربوط به آثار اشر یا متأثر از آن

آثار اشر طی دهه‌ها، از وجوه مختلف، مورد بررسی‌ها و تحقیقات نظری اعضای جوامع علمی واقع شده‌اند و مشخص شده است که حداقل بخشی از آثار او مستقیماً از تحقیقات ریاضی نشأت گرفته‌اند. در اینجا به‌اختصار، به بیان برخی از این موارد می‌پردازیم:

*«طبقه‌بندی کاشی‌های منظم با استفاده از روابط رئوس کاشی‌ها»؛ که روش اشر و «هیش»[30] بود و به بخش کاشی‌های نامتقارن و کاشی‌هایی با گروه‌های تقارنی بدون بازتاب محدود شده‌ بود. «برانکو گرونباوم» و «جفری شفارد»[31] در سال 1970 این محدودیت را به طبقه‌بندی درخشانی از انواع کاشی‌های دارای ویژگی‌های انتقال با توجه به گروه‌های متقارن، گسترش دادند.

*«کاشیکاری‌های دورنگ و دونقش»؛ که اشر از آنها برای توصیف دوگان استفاده می‌کرد. جالب است بدانید که اولین طبقه‌بندی تقارن دورنگ گروه‌های متقارن، توسط «وودز»[32] در سال 1936 (هم‌زمان با اشر و مستقل از او) انجام شد. اشر به استفاده از کاشی‌های سیاه و سفید برای طراحی‌ پارچه علاقه‌مند بود و می‌خواست با استفاده از یک کاشی دورنگ و تقارن کاشیکاری، طرح‌هایی ایجاد کند که که آنها را counterchange می‌نامید.

*«تغییرات توپولوژیکی»؛ یکی دیگر از کلیدواژه‌هایی است که از آثار اشر استخراج شده ‌است. مخلوقاتِ به‌هم‌پیوستة‌ او اغلب با یک متوازی‌الاضلاع، مربع، مثلث یا شش‌ضلعی آغاز می‌شدند و سپس به‌صورت یکپارچه به ساختاری شبکه‌ای و اثری شناخت‌پذیر تبدیل می‌شدند.

*«تقارن» رنگ؛ که تا دهه 1950 برای بلورشناسان دغدغه‌ای جدی نبود و سال‌ها طول کشید تا گروه‌های متقارن رنگی به‌صورت جدی مورد بحث‌وبررسی کارشناسانه قرار بگیرند.

 

شکل 9. آغاز سوارکار

*پوشش رویه‌هایی چون «صفحه اقلیدسی»، «صفحه‌ هذلولوی»، «کره»، «استوانه» و… با الگوهای متقارن، از علائق اشر بود و اغلب این پوشش‌ها گروه‌های متقارن نابدیهی و غیرمتعارفی را ایجاد کرده‌اند. «داگلاس دانهام»[33]، خانواده‌های زیادی از کاشیکاری‌های اشرمانند را کشف و بررسی کرده‌ است.

*«الگوریتم اشر برای تولید الگوهای مزین‌شده توسط چهارضلعی‌ها»؛ که ریاضی‌دانان و دانشمندان علوم کامپیوتر را بر آن داشته ‌است تا با استفاده از روش‌های ترکیبیاتی و تکنیک‌های کامپیوتری، ضمن بررسی آثار او، پاسخ پرسش‌های بیشتری را نیز بیابند.

کاشیکاری‌های ایجادشده توسط اشر، درواقع آمیخته با نوعی وسواس هستند؛ ابتدا با یک کاشی ساده (که اغلب یک چندضلعی است) و می‌داند بخش‌های منظمی ایجاد خواهد کرد شروع می‌کند، سپس با زحمتی وسواس‌گونه که مرزها در آن به‌سختی قابل‌تشخیص‌اند، طرحی مانند شکل 8 می‌سازد.

در پایان، بیایید مانند اشر کاشیکاری کنیم:

 

مرحله اول مرحله دوم مرحله سوم

شکل 10 . مراحل کاشیکاری به‌سبک موریس اشر

 

مراجع:

  • Doris Schattschneider, – M.C. Escher’s legacy_ a centennial celebration_ collection of articles coming from the M.C. Escher Centennial Conference, Rome, 1998-Springer (2003).
  • Doris Schattschneider, The Mathematical Side of M. C. Escher, NOTICES OF THE AMS, VOLUME 57, NUMBER 6, 706-718.
  • Terry Kawas, Creating Escher-Type Tessellations, http://www.mathwire.com .

[1] Maurits Cornelis Escher

[2] Benjamin Dickman

[3] Alhambra

[4] Majolica Tilings

سفالینه لعاب قلعی. بااینکه بدنه سفالینه ماژولیکا از سفال‌های دیگر متراکم‌تر است، همچون دیگر سفالینه‌ها متخلخل و رنگی است. بدنه این سفالینه‌ها به‌طور کلی از رس ناخالص و سیلیس ساخته می‌شود. این بدنه‌ها همیشه دارای لعاب سفید کدر قلع بوده و یا در مواردی به‌وسیله انگوب سفید و لعاب شفاف پوشانده شده‌اند؛ درحقیقت این دو عامل وجه‌مشخصه این نوع فرآورده‌ها هستند.

[5] F. Haag

[6] G. Pólya

[7] Plane-Filling

منظور از صفحه-پرکن شیئی است که با اتصال تعدادی از آن به هم، بتوان یک صفحه را به‌طور کامل پوشش داد.

[8] N. G. de Bruijn

[9] Stedelijk Museum

[10] Roger Penrose

«راجر پنروز» یکی از برندگان جایزه نوبل فیزیک در سال 2020 میلادی است.

[11] مثلث پنروز متشکل از سه میله است که دو به دو با زاویه قائمه در رئوس مثلث به هم متصل می‌شوند. هیچ جسمی در فضای سه‌بعدی اقلیدسی وجود ندارد که تمام این ویژگی‌ها را داشته باشد. برای اطلاعات بیشتر می‌توانید به لینک زیر مراجعه کنید.

https://en.wikipedia.org/wiki/Penrose_triangle

[12] H. S. M. Coxeter

[13]Poincaré disk model

دیسک پوآنکاره یک مدل دوبعدی از هندسه هذلولی است. نقاط درون دیسک واحد، نقاط هندسه هذلولی و خطوط آن تمام قطرهای دایره به‌همراه کمان‌های دایره‌های متقاطع با این دیسک هستند. برای مطالعه بیشتر به لینک زیر مراجعه کنید.

https://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9_disk_model

[14] Bruno Ernst

[15] The Graphic Work of M. C. Escher, Duell, Sloan and Pearce

[16] P. Terpstra

[17] Caroline MacGillavry,

[18] Layman’s Theory

[19] Doris Schattschneider

[20] Martin Gardner

[21] Marjorie Senechal

[22] knots

[23] Möbius bands

[24] duality

[25] self-reference

[26] recursion

[27] Douglas Hofstadter

[28]نام کتاب: ” Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid”، ترجمه «مرتضی خزانه‌داری» و دیگران، نشر مرکز، 1396.

[29] بخشی از ترجمه همان کتاب.

[30] Heesch

[31] Branko Grünbaum , Geoffrey Shephard

[32] Woods

[33] Douglas Dunham

آخرین مقالات منتشر شده

ماجراهای آلیس در سرزمین جبر

کتاب «آلیس در سرزمین عجایب»[1] اثر معروف «لوئیس کارول»[2] بدون «گربه چشایر»، «دادگاه»، «کودک دوشس» یا «مهمانی چای کلاهدوز دیوانه»، چه خواهد بود؟ اگر به داستان اصلی که نویسنده یک

ادامه مقاله »

ذهن هذلولوی شما

«استفان اورنس»، نویسندة علم و ریاضیات است که در شهر «نشویل» ایالت «تنسی» آمریکا زندگی می‌کند. کتاب او با نام «هنر ریاضی: حقیقت، زیبایی و معادلات» به هنرمندانی پرداخته که

ادامه مقاله »

منکران جدید تکامل

معمولاً مُهر انکارِ تکامل بر پیشانی جریان‌های مذهبی زده میشود. ولی در سال‌های اخیر، شکل جدیدی از این انکارورزی از درون جریان‌های چپ سربرآورده که به‌مراتب خطرناکتر است. معرفی نویسنده:«کالین

ادامه مقاله »

هنر آینه فیزیک، فیزیک آینه هنر

اینشتین[1] و پیکاسو[2]: فضا، زمان و زیبایی که طوفان به‌پامی‌کند!   «استفان جی. براش»[3]، مورخ علم در دانشگاه «مریلند» (معرفی کتابی از «آرتور آی. میلر»[4]) مترجم: مهسا لزگی، دانشجوی دکترای

ادامه مقاله »

تا بی نهایت و فراتر از آن!

«اوواین گریفین»[1] از محدوده اعداد فراتر می‌رود و به مفاهیم می‌رسد. معرفی نویسنده: «اوواین گریفین» اخیراً در مقطعِ کارشناسی ارشد منطق و فلسفة ریاضیات از دانشگاه «بریستول» فارغ‌التحصیل شده است.

ادامه مقاله »

خوش آمدید!

لطفا از طریق فرم زیر به حساب کاربری خود وارد شوید

بازیابی گذرواژه

لطفا جهت بازیابی گذرواژه، نام کاربری و یا ایمیل خود را وارد نمائید.

ورود / عضویت

Add New Playlist