«استفان اورنس»، نویسندة علم و ریاضیات است که در شهر «نشویل» ایالت «تنسی» آمریکا زندگی می‌کند. کتاب او با نام «هنر ریاضی: حقیقت، زیبایی و معادلات» به هنرمندانی پرداخته که منبع الهامشان هندسه‌ نااقلیدسی است.

 


 

چطور گونه‌ای از هندسه که زمانی بدعتی در ریاضیات[1] محسوب می‌شد، می‌تواند به ما در فهم قوه‌ ادراک[2] بشر کمک کند؟

مغز انسان هم اعجاز روند تکامل محسوب می‌شود و هم رمز و راز آن. حدود 86 میلیارد سلول عصبی که در حجمی تقریباً معادل یک‌چهارم توپ فوتبال فشرده شده‌اند، با تشکیل شبکه‌هایی ما را قادر به انجام هر کاری می‌کنند: از اینستاگرام‌گردی‌های بی‌نیاز از تفکر گرفته تا فرستادن انسان‌ها به فضا. بااین‌وجود، هنوز درک کاملی از ساختار شبکه‌های عصبی در مغز حاصل نشده است.

 

قوه‌ ادراک انسان همچنان مقوله‌ای بغرنج و دردسرساز است. مغز ما چطور حجم انبوهی از سیگنال‌های ورودی ازقبیل فوتون‌های نور، مولکول‌های بو، امواج صوتی و عمل لمس را به یک شبیه‌سازی دقیق ذهنی تبدیل می‌کند؟ مثلاً کدام شبکه عصبی می‌تواند بیانگر بوی شکلات باشد؟

مطالعات اخیر نشان می‌دهند که شاید ریاضیات بتواند در یافتن پاسخ چنین پرسش‌هایی به ما کمک کند. در همین‌راستا، برخی از محققان برای تخمین دقیق‌تر کارکرد شبکه‌های پیچیده‌ای که در روند ادراک و دیگر فعالیت‌های شناختی ما دخیل هستند، به هندسه‌ هذلولوی[3] روی آورده‌اند. این نوع از هندسه هم مانند سایر انواع آن[4]، مجموعه‌ای از قوانین درباره‌ فضا، فاصله و ارتباطات بین فضا و فاصله است. البته هندسه هذلولوی برخلاف هندسه اقلیدسی، که اغلب مردم در دبیرستان آن را فراگرفته‌اند، نحوة سازگاری[5] فضا با شرایطی را تشریح می‌کند که در آن به‌واسطۀ وجود انحنا در فضا، کلیة نقاط از یکدیگر دور می‌شوند.

مثلاً، «تاتیانا شارپی»[6] از مؤسسۀ زیست‌شناختی «سالک»[7] در «لاهولای» کالیفرنیا[8] که پژوهش‌هایش برای درک ساختار سیستم بویایی در دو سال اخیر او را به‌سمت هندسه هذلولوی سوق داده، می‌گوید: «دستِ‌کم گرفتنِ ارزش هندسه هذلولوی در حوزۀ زیست‌شناسی سابقه‌ای طولانی دارد.»

به باور تاتیانا، کاربردِ هندسه هذلولوی برای درک حس بویایی تنها آغاز ماجراست و از رویکردهای مشابه می‌توان برای شناخت سایر حواس نیز استفاده کرد.

اگر نظر پژوهشگرانی مانند شارپی صحیح باشد، ما برای شناخت مغز باید آماده‌ پذیرش اصول هندسه‌ هذلولوی باشیم؛ اصولی که وقتی برای نخستین‌بار به جهان ریاضیات قدم گذاشتند، با آنها مانند بدعتی کفرآمیز برخورد شد.

 

آغاز شبی بی‌انتها

ما معمولاً فکر می‌کنیم که جهان از قوانینی که اصول آن را اقلیدس[9]، «پدر هندسه»، بیش از 2000 سال پیش در رسالۀ «اصول»‌[10] گردآورده‌است، تبعیت می‌کند. این قوانین که تقریب خوبی از جهان واقعی با سطوح مسطح هستند، در مقیاس زندگی روزمره کارآمدند. ما با کمک هندسه اقلیدسی توانسته‌ایم از دریاها بگذریم، آسمان‌خراش بسازیم و در مسابقه‌های فرمول یک ماشین‌های فراری برانیم!

در این بین، مشکل اساسی با پنجمین اصل موضوعه اقلیدس است[11] که به اصل «توازی» شهرت دارد و بر اساس آن «دو خط موازی هیچ‌گاه یکدیگر را قطع نمی‌کنند.» این امر که در هندسه اقلیدسی مجموع زوایای داخلی هر مثلث کمتر از  180درجه است نیز ناشی از همین اصل است.

فرض بر آن بود که اصول موضوعه، اموری بدیهی هستند. اما ریاضی‌دانان در مورد اصل پنجم اقلیدس که به خطوط موازی می‌پردازد، ناخرسند بودند؛ چراکه اصل توازی از نظر شهودی، قانع‌کننده به‌نظرنمی‌رسید و حتی خود اقلیدس هم در اکثر قضایای خود در «اصول» از آن استفاده نکرده بود. جمعی از دانشمندان با این اصل مشکل داشتند و هزاران سال با آن کلنجار رفتند. این جماعتِ ناراضی سرانجام از اوایل قرن نوزدهم این پرسش را مطرح کردند که اگر اصل توازی را نپذیریم، چه خواهد شد؟

این پرسش همه‌چیز را تغییر داد. آنها دریافتند که نقض اصل پنجم اقلیدس، صرفا مقولۀ دردسرساز نیست. چراکه نقض این اصل دریچه‌ای بود به‌سوی هندسه‌هایی حیرت‌انگیز و نوین که همچنان با خود سازگار[12] بودند.

ایده‌ نقض اصل پنجم اقلیدس، توجه اندیشمندان بزرگی مانند «کارل فردریش گاوس»[13] و «نیکولای لوباچفسکی»[14] را به خود جلب کرد. یکی از برجسته‌ترین چهره‌های آن دوران، ریاضی‌دان جوانی از «مجارستان» به نام «یانوش بویویی»[15] از نخستین بنیان‌گذاران قوانین این هندسة جدید بود. او در سال 1820، مسئولیت طرحی بنیادین را برای مخالفت کردن با هندسه اقلیدسی به‌گردن‌گرفت. بویویی دریافت که رهایی از قیدِ اصل پنجم اقلیدس، درهای جدیدی را به روی هندسه‌های عجیب‌تر نااقلیدسی می‌گشاید.

«فارکاش»[16]، پدرش، از تحقیقات او راضی نبود و با ادبیاتی که اغلب از ریاضی‌دانان یا پدران نمی‌شنویم، او را از ادامه‌ این کار منع کرد و در نامه‌ای برایش نوشت: «یانوش محض رضای خدا، این کار را رها کن. به‌اندازة هر رابطۀ جنسی با زنی هرزه، از آن منزجر باش و از ادامه‌اش منصرف شو. این تحقیقات می‌تواند اوقات فراغت، سلامت، آسودگی و تمام شادمانی زندگی‌ تو را تباه کند.»

فارکاش که خود نیز ریاضی‌دان و از دوستان قدیمی گاوس بود، به پسرش یادآور شد که خودش هم یک بار تلاش کرده تا اقلیدس را به چالش بکشد: «من آن شب بی‌انتها را پیموده‌ام و تمام عزیزان و لذت‌های زندگی را ازدست‌داده‌ام». چه سخنان پدرانة دلگرم‌کننده‌ای!

اما یانوش دلسرد نشد و به مسیر خود ادامه داد و با تلاش فراوان توانست مجموعه قوانین هندسه نااقلیدسی را مدون کند[17]. در هندسه اقلیدسی، مجموع زوایای داخلی هر مثلث، 180درجه است و خطوط موازی هرگز یکدیگر را قطع نمی‌کنند. اما در هندسه‌ نااقلیدسی چنین نیست؛ مثلاً در هندسه کروی[18] اگر مثلثی را روی یک کره رسم کنید، مجموع زوایای داخلی آن مثلث بیشتر از 180درجه خواهد شد. (اگر سه ضلع مثلث روی کره زمین عبارت باشند از قطب شمال، شهر «میامی» در فلوریدای آمریکا و «هونولولو» در هاوایی، مجموع زوایای داخلی این مثلث از 180درجه بیشتر خواهد شد.)

هندسه هذلولوی یکی از انواع شناخته‌شده هندسه‌های نااقلیدسی است. یک صفحۀ هذلولوی شناور در فضای سه‌بعدی، تخت نیست بلکه بیشتر شبیه زین اسب است. این صفحه در هر نقطه دارای انحنا و خمیدگی است. اگر شما روی صفحه هذلولوی ایستاده باشید و بخواهید در جهتی خاص قدم بزنید، صعود می‌کنید و اگر 90درجه بچرخید و به راه خود ادامه دهید، به‌سمت پایین خواهید رفت. در فضای هذلولوی، مجموع زاویه‌های مثلث، کمتر از 180درجه است.

 

راهروهای خمیده و بینایی نااقلیدسی[19]

مطالعات تقریباً فراموش‌شده‌ای با قدمتی بیش از 100 سال، اشاره می‌کنند که می‌توان از هندسه هذلولوی برای توضیح ادراک بصری، بهره برد.

دانشمند آلمانی، «اف. هیلبراند»[20] در سال 1902، آزمایشات اتاق تاریک را انجام داد و حدود 10 سال بعد، «دبلیو. بلومنفلد»[21] آزمایش‌های هیلبراند را به‌نحوی دیگر انجام داد و از داوطلبان خواست با ثابت نگه‌داشتن سر خود، مستقیماً به جلو نگاه کنند. سپس از ایشان خواسته شد تا تعدادی چراغ روشن را روی خطوطی موازی، مرتب کنند؛ به‌نحوی که هر خطِ موازی، فاصله‌ یکسانی از خط دید داوطلبان داشته باشد. قرار بود آزمایش ثابت کند که تمامی داوطلبان به میانه مسیر بین دو خط موازی خیره شده‌اند.

اما نتایج این آزمایش‌ها با باور رایج تناقض داشت. خطوطی که داوطلبان تصور می‌کردند مستقیم و موازی‌اند، نه مستقیم بودند و نه موازی! در عوض، خطوطی بودند که از میزان خاصی از خمیدگی[22] برخوردار بودند. شرحی که «رادولف لونبرگ»[23]، ریاضی‌دان آلمانی که در مؤسسۀ چشم «دارتموث»[24] کار می‌کرد، در دهه 1940  میلادی از این پدیده ارائه داد، به درک چراییِ تفاوت میان خطوط موازی در واقعیت و ادراک ذهنی ما کمک شایانی کرد.

لونبرگ دریافت که انسان‌ به‌واسطه دید دو چشمی[25] خود نقشه‌ای سه‌بعدی را از محیط پیرامونش دریافت می‌کند که علاوه بر شکل اشیایی که در اطراف او قرار دارند، شامل مکان‌ قرارگیری آنها هم هست. در همین‌راستا، او تلاش کرد تا به معیاری درخصوص نحوة تبدیل واقعیت فیزیکی به آنچه می‌بینیم، دست‌یابد.

لونبرگ و همکارانش به این نتیجه رسیدند که قوانین حاکم بر ادراک بصری، نااقلیدسی هستند و با استفاده از هندسه هذلولوی بهتر می‌توان آنها را تشریح کرد. دهه‌ها بعد، در سال 1983 میلادی، «پاتریک هیلان»[26]، فیلسوف علم، ادعای مشابهی را دربارة‌ وجود فضای بصری هذلولوی مطرح کرد. هیلان همچنین یادآور شد که نقاشانی مانند «پل سزان»[27]، «ونسان ون‌گوگ»[28] و «جوزف مالورد ویلیام ترنر»[29] در آثار خود ساختارهای هذلولوی را به ‌تصویر کشیده‌اند.

 

در قرن بیستم هندسه هذلولوی منبع الهام هنری ِافرادی چون اشر بود. (تصویر پرتره یانوش بویویی)

هندسه بویایی

هنوز هم تحقیقات در زمینه نمودهای هندسه هذلولوی ادامه دارد و محققان همچنان به کاوش درباره‌ ساختار شبکه‌های ادراکی می‌پردازند. از برخی از آزمایشات اخیر شواهدی به‌دست‌آمده که نشان می‌دهند، فضای بصری موجودات زنده قطعاً نااقلیدسی است.

شارپی می‌گوید: «آسمان شب گواه قانع‌کننده‌ای بر ادراک هذلولوی ماست. ما کیهان تیره را همانند گنبد می‌بینیم، اما در گنبدِ آسمان فاصله‌های نجومی، تحریف‌شده و نادقیق‌اند. بچه‌ها در خیال خود به ماه می‌رسند؛ چراکه آنقدر نزدیک است که می‌توان آن را لمس کرد. خٌب… فاصله‌ها فشرده می‌شوند.»

شارپی در ادامه می‌گوید: «و همین عبارت فشرده‌شدن فاصله‌ها، ممکن است کلیدِ گشودن رازهای هذلولوی ادراک ما باشد: «ویژگی‌های این ادراک هذلولوی تنها در مقیاس‌های بزرگ و گسترده بروز و ظهور پیدا می‌کند. هر هندسه خمیده‌ای در مقیاس کوچک، یک هندسه اقلیدسی است؛ برای مثال، مثلثی که رئوس آن را سه شهر «کرج»، «ورامین» و «دماوند» در اطراف شهر تهران[30] تشکیل می‌دهند، از قواعد هندسه اقلیدسی که با فرضیه مسطح‌بودن سازگار است، پیروی می‌کند (مقیاس کوچک). اما چنانچه رئوس مثلث، سه شهر «نیویورک»، «لندن» و «ملبورن» باشند، دیگر قواعد هندسه اقلیدسی بر آن حاکم نیست (مقیاس بزرگ).»

پاراگراف‌های بالا ایدة اصلی شارپی در «نقشه‌ بویایی»[31] او است که دارای پیچیدگی‌های بسیاری است. فرضیه وسوسه‌برانگیزی که در مورد بویایی وجود دارد، این است که سیستم بویایی ما درک مشابهی از مولکول‌های بویی که ساختارهای مولکولی دارد. (این فرض متناظر با این تفکر است که ما خطوط موازی را موازی درک می‌کنیم.) اما یافته‌های شارپی این فرضیه را تأیید نکردند. او ساختارهای شیمیایی بوهای رایج را بررسی کرد و آنها را با نتایج آزمایشاتی که در آنها از داوطلبان خواسته شده بود تا بوهای مشابه را در گروه‌های خاصی دسته‌بندی کنند، تطبیق داد.

یافته‌های او نشان می‌دهد که مغز انسان، بوها را به‌جای دسته‌بندی بر اساس ترکیب مولکولی‌شان، بر اساس تعداد دفعاتی که آنها هم‌زمان با هم به مشام می‌رسند، گروه‌بندی می‌کند. زمانی که شارپی نقشه‌ای بر اساس این گروه‌های بو ایجاد کرد، دریافت که بهترین توصیف از فاصله میان مولکول‌هایی با ساختار مشابه در نقشه او، با استفاده از ایدة فاصله در هندسه هذلولوی به‌دست‌می‌آید.

کار او نشان می‌دهد که اگر ما به ساختار سازمان‌دهی مغز به‌عنوان نوعی فضای خمیده نگاه کنیم، شاید بتوانیم درباره‌ چگونگی سازماندهی اطلاعات مرتبط با ادراک توسط مغز، چیزهای بیشتری فراگیریم.

در ضمن، هندسه هذلولوی، یعنی همان ریاضیاتی که پیش‌تر آن را پست و فرومایه می‌پنداشتند، حالا در مدل‌سازی ساختارهای پیچیدة مغز نیز فراتر از تصور مفید واقع شده است. در مقاله‌ای که طی ماه‌های آینده  منتشر خواهد شد، متخصصان فیزیک در «بارسلونا»، شبکه‌ مغزی طیف وسیعی از گونه‌های جانوری را مدل‌سازی کرده‌اند. آنها دریافته‌اند که نورون‌ها ـ برخلاف تصوری که ما بر اساس هندسه اقلیدسی داریم ـ لزوماً با نورون‌های نزدیک به خود در فضا ارتباط برقرار نمی‌کنند، بلکه در عوض برای برقراری ارتباط با یکدیگر، «شبکه‌های رله»[32] تشکیل می‌دهند که از قواعد هندسه‌ای عجیب‌وغریب‌تر پیروی می‌کنند. این محققان گزارش می‌دهند که فضای هذلولوی، نقشه‌های تقریباً بی‌نقصی را برای پیمایش شبکه‌ ارتباطاتی درون مغز گونه‌های مختلف جانوری فراهم می‌کند.

محققان بارسلونایی می‌گویند که هندسه هذلولوی، روشِ «نقشه‌برداری جدیدی از مغز» ارائه می‌کند». به‌همین‌ترتیب، برخی از دانشمندان علوم کامپیوتر نیز دریافته‌اند که هندسه هذلولوی، روشی جذاب برای سازماندهی «مجموعه‌های داده‌ای»‌[33] بزرگ ارائه می‌دهد که در یادگیری ماشین[34] ضروری هستند.

«آنتوان آلارد»[35]، فیزیک‌دان از دانشگاه «لاوالِ» کبک[36] می‌گوید: «هندسه هذلولوی، روشی طبیعی برای نشان دادن پیچیدگی ساختاری مغز است.»

این‌همه دستاورد برای حوزه‌ای بدعت‌آمیز در ریاضیات که در شبی بی‌انتها متولد شده، خیلی هم بد نیست!

زیرنویس عکس صفحه سوم: در قرن بیستم هندسه هذلولوی منبع الهام هنری ِافرادی چون اشر بود.

مترجم: (عکس زیر) مهناز حامدی، دانشجوی دکتری ریاضی کاربردی (آنالیز عددی)، دانشگاه الزهرا

 


 

[1] برای مطالعه بیشتر درباره چگونگی این بدعت، می‌توانید به لینک زیر مراجعه کنید:

http://ensani.ir/fa/article/26863/%D9%87%D9%86%D8%AF%D8%B3%D9%87-%D9%86%D8%A7%D8%A7%D9%82%D9%84%DB%8C%D8%AF%D8%B3%DB%8C-%D8%A7%D9%86%D9%82%D9%84%D8%A7%D8%A8%DB%8C-%D9%BE%D8%A7%D8%B1%D8%A7%D8%AF%D8%A7%DB%8C%D9%85%DB%8C-%D8%AF%D8%B1-%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA

[2] perception

[3]Hyperbolic geometry

برای مطالعه بیشتر در مورد هندسه هذلولوی به لینک زیر مراجعه کنید:

https://rasekhoon.net/article/show/1030953/%D9%87%D9%86%D8%AF%D8%B3%D9%87-%D9%87%D8%B0%D9%84%D9%88%D9%84%DB%8C

[4] منظور هندسه‌ اقلیدسی و انواع هندسه‌های نااقلیدسی است.

[5]سازگاری (یا همخوانی) در «منطق» به معانی گوناگونی به‌کار‌می‌رود. ساده‌ترین معنای آن نبود «تناقض» (یا ناهمخوانی) در نظام است. واژه‌های «منطق» و «تناقض»، واژگان مهمی‌ هستند. ریاضی‌دانان تلاش می‌کنند با پیروی از اصول‌ منطق‌ و سازگاری‌ میان‌ اصول‌ موضوعه‌ و قضایا، دربارة‌ صحت‌‌وسقم‌ منطقی آن‌ ساختار ریاضی تصمیم‌ بگیرند. برای کسب اطلاعات بیشتر می‌توانید با جستجوی واژگان «سازگاری» و «منطق ریاضی» و یا ترکیب‌های آنها، درباره ارزش‌دهی به گزاره‌ها، تناقض و سازگاری میان آنها و … اطلاعات مناسبی دریافت کنید. م

[6] Tatyana Sharpee

[7] Salk Institute for Biological  Studies

[8] La Jolla, California

[9] Euclid

[10] برای مطالعه بیشتر رجوع کنید به: «ال هیث، تامس». «اصول اقلیدس: سیزده مقاله». مترجم «محمدهادی شفیعیها». تهران: مرکز نشر دانشگاهی، 1388.

[11] اصل پنجم اقلیدس ایجاز و روشنی سایر اصول را نداشت. در واقع این اصل بیشتر به یک قضیه شباهت داشت تا به یک اصل. از این‌رو لزوم پذیرش آن به‌عنوان یک اصل، طی سالیان طولانی، توسط ریاضی‌دانان متعددی مورد سؤال قرار گرفت. چراکه تصور می‌شد، شاید بتوان آن را به‌عنوان یک قضیه از سایر اصول استخراج کرد، یا بتوان معادل مناسب‌تری جایگزین آن کرد. م

[12] self-consistent

[13]  Carl Friedrich Gauss

[14] Nikolai Lobachevsky

[15] János Bolyai

[16] Farkas

[17] یانوش پدرش را به‌صورت محرمانه از کشفیات خود در زمینه هندسه نااقلیدسی باخبر ساخت و پدر نیز به او توصیه کرد «تا در چاپ آنها عجله کند؛ نخست به این‌علت که اندیشه‌ها خیلی زود از یکی به دیگری منتقل می‌شوند و ممکن است انتشار یابند و دوم بدین‌سبب که بسیاری از چیزها، همان‌گونه که همیشه بوده است، دورانی دارند که در آن هم‌زمان در چندجا کشف شده‌اند؛ نظیر گل‌های بنفشه که در بهاران همه‌جا شکفته می‌شوند.»

از این‌رو یانوش کشفیات خود را به‌صورت پیوستی 26صفحه‌ای در کتاب پدرش (در سال 1831) منتشر کرد. سپس فارکاش نسخه‌ای برای دوست قدیمی خود، گاوس، فرستاد و او نوشت: «اگر با این عبارت آغاز کنم که یارای تمجید از چنین کاری را ندارم، شگفت‌زده خواهید شد؛ چراکه من تمام محتوای کاری را که پسر شما انجام داده، راهی را که برگزیده و نتایجی را که به‌دست‌آورده، تمام‌وکمال انجام داده‌ام. اما تمایلی به انتظار آن از سوی خود را نداشتم، چراکه بیشتر مردم بینش لازم را برای درک این نتایج ندارند. اما باعث خوشوقتی است که فرزند دوست دیرینم به چنین شیوه‌ای عالی بر من پیشی گرفته است.» یانوش چنان از این مکاتبات دلسرد شد که قصد چاپ جداگانة کشفیاتش را از یاد برد؛ زیرا گمان می‌کرد پدرش مکاتبات او را پیش‌تر در اختیار گاوس قرار داده است.

گاوس از انتشار کشفیات خود به‌دلیل «احتمال کشیده شدن به هر نوع درگیری» با پیروان کانت و دیگران، بیمناک بود. بعدها روشن شد که «لباچفسکی» در سال 1829 کشفیات خود را درباره هندسه نااقلیدسی (دو سال پیش از یانوش) منتشر کرده است و سرانجام کشف هندسه‌های نااقلیدسی به نام بویوئی و لباچفسکی ثبت شد.

[18] Spherical Geometry

[19] NON-EUCLIDE AN VISION

[20] F. Hillebrand

[21] W. Blumenfeld

[22] برای اندازه‌گیری انحنای یک رویه در یک نقطه، از انحنای گاوسی استفاده می‌کنیم. برای مطالعه بیشتر می‌توانید به لینک زیر رجوع کنید:

https://fa.ims.ir/wp-content/uploads/2019/04/%D8%A7%D9%86%D8%AD%D9%86%D8%A7%DB%8C-%DA%AF%D8%A7%D9%88%D8%B3%DB%8C155.pdf

[23] Rudolf Luneburg

[24] Dartmouth Eye Institute

[25] Binocular Vision

[26] Patrick Heelan

[27] Paul Cézanne

[28] Vincent Van Gogh

[29] Joseph Mallord William Turner

[30]  در متن اصلی نام سه شهر کشور آمریکا به‌عنوان رئوس مثلث آمده بود که  به سه شهر در اطراف تهران تغییر یافت تا مطلب برای مخاطبان نشریه گونیا ملموس‌تر باشد. م

[31] Olfactory Map

[32] Relay Networks

[33] Datasets

[34] Machin Learning

[35] Antoine Allard

[36]  Laval University in Quebec

آخرین مقالات منتشر شده

ذهن هذلولوی شما

«استفان اورنس»، نویسندة علم و ریاضیات است که در شهر «نشویل» ایالت «تنسی» آمریکا زندگی می‌کند. کتاب او با نام «هنر ریاضی: حقیقت، زیبایی و معادلات» به هنرمندانی پرداخته که

ادامه مقاله »

منکران جدید تکامل

معمولاً مُهر انکارِ تکامل بر پیشانی جریان‌های مذهبی زده میشود. ولی در سال‌های اخیر، شکل جدیدی از این انکارورزی از درون جریان‌های چپ سربرآورده که به‌مراتب خطرناکتر است. معرفی نویسنده:«کالین

ادامه مقاله »

باخ، فراکتال ها و هنر فوگ

پیشگفتار قرن‌ها است که دانشمندان و متفکران، شیفته ارتباط بین موسیقی و ریاضیات هستند. گفته‌ا‌‌ند که «فیثاغورس»[1] بیش از 2000 سال پیش به این واقعیت پی برد که رابطه بین

ادامه مقاله »

پایان هنر یا ظهور هنر بی پایان؟

در توئیتی به «گرایمرز»[1] گفتند: «فاشیست سیلیکون‌ولی»[2]، چراکه وقتی این خوانندة مشهور پاپ در برنامة پادکستِ یک اخترفیزیک‌دان اعلام کرد که ما در «پایان هنر و مشخصاً پایان هنر انسانی»

ادامه مقاله »

جادوی هنر در آموزش ریاضی

فیثاغورس در نقاشی مکتب آتن[1]  اثر مشهور رافائل[2]، نقاش و معمار ایتالیایی دوران رنسانس در ایتالیا، مشغول آموزش ریاضی است.   از دید گروهی از هنرمندان و برخی از مخاطبان

ادامه مقاله »

داروین، تکامل و اقتصاد

معرفی نویسنده: کالین مک‌گین (زادۀ 10ام مارچ 1950) فیلسوفی انگلیسی است که بیش از بیست کتاب را (از جمله طبیعت ذهن، حس آگاهی و ابژه‌های آن و پیدایش یک فیلسوف)

ادامه مقاله »

خوش آمدید!

لطفا از طریق فرم زیر به حساب کاربری خود وارد شوید

بازیابی گذرواژه

لطفا جهت بازیابی گذرواژه، نام کاربری و یا ایمیل خود را وارد نمائید.

ورود / عضویت

Add New Playlist