ماجراهای آلیس در سرزمین جبر

کتاب «آلیس در سرزمین عجایب»[1] اثر معروف «لوئیس کارول»[2] بدون «گربه چشایر»، «دادگاه»، «کودک دوشس» یا «مهمانی چای کلاهدوز دیوانه»، چه خواهد بود؟ اگر به داستان اصلی که نویسنده یک روز در سفری با قایق در نزدیکی «آکسفورد» برای «آلیس لیدل»[3] و دو خواهرش تعریف کرده است نگاه کنید، متوجه خواهید شد که این شخصیت‌ها و صحنه‌های معروف در آن داستان وجود ندارند.

‌هنگامی که کار روی پروژة دکترای فلسفه[4] خود را در زمینة تحقیقاتی «ادبیات ویکتوریایی»[5] آغاز کردم، می‌خواستم بدانم چه‌چیز الهام‌بخش این مواردِ اضافه‌شده به داستان بوده است. ادبیات انتقادی عمدتاً بر تفسیرهای فرویدی از کتاب و بر سقوطی خارج‌ازکنترل به دنیای تاریک «ناخودآگاه» متمرکز بود. هیچ تجزیه ‌و تحلیل دقیقی از صحنه‌های اضافه‌شده وجود نداشت، اما از میان انبوه مقالات ادبی، یک مورد برجسته بود: در سال 1984 «هلنا پیکیور» از دانشگاه «ویسکانسین-میلواکی»، محاکمة «سرباز دل» را با یک کتاب جبر مربوط به دورة ویکتوریا مرتبط دانسته بود. با توجه به شغل نویسندة آلیس، تعجب‌آور است که مطالب درخصوص نقد آثارش از منظر ریاضی تااین‌حد اندک باشد. «کارول» اسمی مستعار بود: نام اصلی او «چارلز داگسون»[6] است؛ کسی که در کالج «کریست چرچ»[7] آکسفورد، ریاضی‌دان بود.

قرن نوزدهم دوران پُرفرازونشیبی برای ریاضیات بود؛ به‌ویژه با وجود بسیاری از مفاهیم جدید و بحث‌برانگیز؛ مانند «اعداد موهومی»[8] که به‌طور گسترده در جامعة ریاضیات پذیرفته شدند. اگر از منظر قرینه‌های ریاضی به ماجراهای «آلیس در سرزمین عجایب» نگاه کنیم، روشن می‌شود که «داگسون»، که ریاضی‌دانی سرسختانه محافظه‌کار بود، از برخی صحنه‌های اضافه‌شده برای هجوِ این ایده‌های جدید و رادیکال استفاده کرده است.

حتی پرشورترین تحسین‌کنندگانِ داگسون اعتراف می‌کنند او ریاضی‌دانی محتاط بود که کارهای اصیل کمی تولید کرد. با‌این‌حال، او یک آموزگار وظیفه‌شناس بود و بیش از هرچیز، برای «اصول اقلیدس»[9]، به‌عنوان تجسم تفکر ریاضی ارزش و اهمیت قائل بود. به‌طور کلی این کتاب، هندسة دایره‌ها، چهارضلعی‌ها، خطوط موازی و برخی مثلثات مقدماتی را پوشش می‌داد. اما آنچه واقعاً در مورد اصول اقلیدس قابل‌توجه است، استدلال دقیق آن است: بدین‌صورت که با چند حقیقت غیرقابل‌انکار یا بدیهیات شروع می‌شود و از طریق قدم‌های ساده و منطقی، برهان‌های پیچیده‌ای بنا می‌کند. هر گزاره ابتدا عنوان و سپس اثبات می‌شود و درنهایت با جملة «که باید نشان داده می‌شد»[10] به‌پایان‌می‌رسد.

برای قرن‌ها، این رویکرد به‌عنوان اوج استدلال ریاضی و منطقی درنظرگرفته‌می‌شد. در عین ناخشنودیِ داگسون، ریاضی‌دانان معاصر همیشه به‌اندازة اقلیدس دقیق نبودند. او آثار آنان را تحت‌عنوان «نیمه‌محاوره‌ای» و حتی «نیمه‌منطقی»بودن رد می‌کرد. بدتر از همه، مخصوصاً برای داگسون، این بود که این ریاضیات جدید از واقعیت فیزیکی‌ای که آثار اقلیدس را پایه‌ریزی کرده بود، دور می‌شد.

تا آن‌زمان، دانشمندان به‌طور معمول از مفاهیم ظاهراً مهملی مانند اعداد موهومی استفاده می‌کردند، اعدادی که برخلاف اعداد کامل یا کسرها، کمیّت‌های فیزیکی را نمایندگی نمی‌کنند. هیچ‌کس از عصر ویکتوریا با جان‌ودل این مفاهیم جدید را نپذیرفت و همه برای یافتن چارچوب فلسفی متناسب با آنها تلاش کردند. بااین‌حال این مفاهیم جدید به ریاضی‌دانان آزادیِ جست‌وجو در ایده‌های تازه را می‌دادند و برخی آماده بودند با این مفاهیم عجیب‌وغریب، تا زمانی که در یک چارچوب ثابت از عملیات ریاضی به‌کارگرفته‌شوند، کنار بیایند. اما برای داگسون، ریاضیات جدید بی‌معنی بود و با وجود اینکه پذیرفته بود که ممکن است برای ریاضی‌دانان حرفه‌ای جالب باشد، اما معتقد بود که تدریس آن در دورة کارشناسی غیرممکن است.

داگسون که در جراید تخصصی خلع‌سلاح شده بود، ریاضیاتش را به داستان خود برد. او با استفاده از تکنیکی آشنا از اثبات‌های اقلیدس، به نام «تعلیق به محال»[11]، «منطق نصفه‌نیمة» ریاضیات انتزاعی جدید را خُرد کرد و با نتیجه‌گیری منطقی از این فرضیات، ضعف آن را به‌سخره‌گرفت؛ این کار نتایجی دیوانه‌وار داشت که ماحصل آن «ماجراهای آلیس در سرزمین عجایب» است.

جبر و قلیان

به‌عنوان‌مثال، فصل «اندرز کرم ابریشم» در کتاب را درنظربگیرید. تا اینجای داستان، آلیس درون سوراخ خرگوش سقوط کرده و کیکی را خورده که قد او را دقیقاً به 3 اینچ کاهش داده است. کرم ابریشم درحالی‌که قلیان می‌کشد، وارد داستان می‌شود. او به آلیس قارچی را نشان می‌دهد که می‌تواند او را به ‌اندازة درست برگرداند. البته مشکل اینجاست که یک طرف قارچ، گردن او را کِش می‌دهد، درحالی‌که طرف دیگر، تنة او را کوچک می‌کند. او باید دقیقاً به میزان مناسبی از قارچ بخورد تا بتواند اندازه و نسبت‌های واقعی خود را به‌دست‌آورد.

با وجود اینکه برخی اظهار داشته‌اند که این صحنه، با آن قلیان و «قارچ جادویی» درباره موادمخدر است، اما من معتقدم درواقع راجع به این است که داگسون «جبر نمادی» را بی‌معنی می‌دانست؛ چیزی که ارتباط بین جبر، حساب و هندسة محبوب او را قطع کرده بود. نظربه‌اینکه فصل‌های بعدی کتاب، حاوی شباهت‌های ریاضی مشخص‌تری هم هستند، این صحنه با زیرکی و بازیگوشانه خلق شده و زمینه را برای جنونی که در ادامه می‌آید، فراهم می‌کند.

اولین سرنخ احتمالاً در خودِ چپق است: واژة «قلیان» به‌هرحال اصالتی عربی دارد؛ مانند واژة «جبر» و شاید قابل‌توجه باشد که «آگوستوس دی مورگان»[12]، اولین ریاضی‌دان انگلیسی که مجموعه‌ای سازگار از قوانین را برای جبر نمادی بنیان نهاد، از ترجمه عربی در کتابش «مثلثات و جبر مضاعف»[13] در سال ۱۸۴۹ استفاده می‌کند. او آن را «الجبرالمقابله» یا «احیا و کاهش» می‌نامد، که تقریباً به‌صورت دقیق، تجربة آلیس را توصیف می‌کند. «احیا»، همان‌چیزی بود که آلیس را به قارچ رساند: او به‌دنبال چیزی برای خوردن یا نوشیدن بود تا به‌ قول خودش «دوباره به قد طبیعی برگردد» و «کاهش»، آن چیزی بود که درواقع هنگامِ خوردنِ مقداری از قارچ اتفاق افتاد: او چنان سریع آب‌رفت که چانه‌اش به پایش برخورد کرد!

کارهای «دی مورگان» عزیمت از «حساب جهانی» – جایی که نمادهای جبری نمایانگر اعداد مشخصی هستند که ریشه در یک کمیّت فیزیکی دارند – به «جبر نمادی» را توصیف می‌کند، جایی که هرگونه عملِ «بی‌معنی» شامل جواب‌های منفی و غیرممکن مجاز است، به‌شرطی که از یک منطق درونی پیروی کنند. جبر نمادی اساساً همان‌چیزی است که ما امروزه به‌عنوان زبانی بسیار توسعه‌یافته برای برقراری ارتباط بین مفاهیم ریاضی استفاده می‌کنیم، اما مردم دورة ویکتوریا جبر را بسیار متفاوت می‌دیدند. به‌طوری که حتی در ابتدا تلاش‌های اولیه برای حرکت به‌سوی جبر نمادی، رابطة غیرمستقیم با کمیّت‌های فیزیکی را از دست ‌نداد.

«دی مورگان» می‌خواست حتی این ارتباط سُست با اندازه‌گیری را نیز ازبین‌ببرد. او پیشنهاد كرد كه به جبر، تنها به‌صورت مجموعه‌ای عملیات منطقی نگاه شود و جبر نمادی به‌عنوان یک سیستم دستور زبانی درنظرگرفته‌شود. دی مورگان می‌گفت: جبر را از یک حساب جهانی به یک‌سری عملیات منطقی اما کاملاً نمادین «کاهش» دهید و درنتیجه معنای عمیق‌تری را در سیستم «احیا کنید»؛ اگرچه در این مرحله نتوانست بگوید که دقیقاً چگونه.

 

وقتی آلیس نامتعادل می‌شود[14]

به‌ اعتقاد من، جنون سرزمین عجایب، دیدگاه‌های داگسون در مورد خطرات این جبر نمادی جدید را منعکس می‌کند. آلیس از جهانی منطقی به سرزمینی نقل‌مکان کرده است که حتی اعداد، رفتاری غیرقابل‌پیش‌بینی دارند. در تالار ورودی، او سعی کرد جدول‌ضرب را به یاد بیاورد، اما دستگاه اعداد در ذهنش از مبنای ۱۰ که ما به آن عادت کرده‌ایم، خارج شده بود[15]. در صحنة کرم ابریشم، تردیدهای داگسون در نحوة نوسان قد آلیس بین 9 فوت و 3 اینچ منعکس می‌شود. آلیس که به‌ حساب متداول، کمیّتی مانند قد را ثابت فرض می‌کند، این تغییرات را نگران‌کننده می‌داند: «این‌همه قدهای مختلف تو یه روز خیلی گیج‌کننده است»! کرم ابریشم که در این دنیای بی‌معنی زندگی می‌کند، پاسخ می‌دهد: «این‌طور نیست.»

 

جنون سرزمین عجایب، دیدگاه‌های داگسون در مورد خطرات این جبر نمادی جدید را منعکس می‌کند.

هشدار کرم ابریشم در پایان این صحنه، شاید یکی از گویاترین سرنخ‌های ریاضیاتِ محافظه‌کارانة «داگسون» باشد. او اخطار می‌دهد: «تعادلت رو حفظ کن.» آلیس تصور می‌کند که به او می‌گوید تعادل روحی‌اش را حفظ کند؛ این هشدار تاحدی برایش گیج‌کننده است، زیرا اگرچه واکنش‌های آلیس غیرمنتظره بوده، اما حداقل در این مرحله اصلاً کج‌خلقی نکرده است. بااین‌حال در نظر روشنفکران آن‌زمان، کلمة «تعادل» همچنان معنی اصلی خود را از عبارت «نسبتی که کیفیت‌ها با هم آمیخته می‌شوند» می‌گرفت؛ معنایی که امروزه در عباراتی مانند «عدالت متعادل‌شده با رحمت»[16] زنده است. ازاین‌رو کرم ابریشم می‌توانسته به آلیس گفته باشد که بدن خود را صرف‌نظر از اندازه‌ آن، متناسب نگه دارد.

درعین‌حال ممکن است این قسمت داستان، نشان‌دهندة عشق «داگسون» به «هندسه اقلیدسی» باشد؛ جایی که اندازة مطلق اهمیتی ندارد؛ به‌عنوان‌مثال در مطالعة ویژگی‌های یک مثلث آنچه مهم است، نسبت طول یک ضلع به ضلع دیگر است. برای زنده‌ ماندن در سرزمین عجایب، آلیس باید مانند یک هندسه‌دان اقلیدسی رفتار کند و نسبت‌های خود را ثابت نگه دارد، حتی اگر اندازة او تغییر کند.

البته که او این کار را نمی‌کند. او یک تکه‌قارچ را می‌بلعد و گردنش مانند یک مار رشد می‌کند که به‌صورت کاملاً قابل‌پیش‌بینی نتایجی آشوبناک دارد! تا زمانی که درنهایت، اندام خود را با خوردنِ تکه‌ای از طرف دیگر قارچ متعادل می‌کند. این اتفاق، پیش‌درآمدی مهم برای فصل بعدی، «خوک و فلفل»، است، جایی که «داگسون» نوع دیگری از هندسه را به‌ سخره‌‌ می‌گیرد.

در این مرحله، آلیس به اندازه و شکل مناسب خود بازگشته است، اما برای ورود به یک خانة کوچک، خود را کوچک می‌کند. در آنجا او «دوشس» را در آشپزخانه‌اش پیدا می‌کند که به کودک خود شیر می‌دهد، درحالی‌که آشپز او فلفل زیادی به سوپ اضافه کرده و همه، به‌جز «گربه چشایر»، را به عطسه می‌اندازد. اما وقتی دوشس، کودک را به آلیس می‌دهد، بچه به‌نوعی به یک خوک تبدیل می‌شود.

موضوع این صحنه، هندسة تصویری است، که خصوصیات شکل‌هایی را بررسی می‌کند که حتی با تصویر کردن[17] آنها روی سطحی دیگر یکسان می‌مانند. تصور کنید که یک عکس را روی یک پردة متحرک می‌تابانید و سپس صفحه را از زوایای مختلف خم می‌کنید تا خانواده‌ای از شکل‌ها پدید آید. این حوزه، دربرگیرندة مفاهیم مختلفی بود که «داگسون» آنها را مضحک می‌دانست و ازجمله موارد مهم آن «اصل تداوم»[18] است.

«ژان ویکتور پونسله»[19]، ریاضی‌دان فرانسوی که این اصل را بیان کرد، آن را چنین توصیف می‌کند:

«اجازه دهید شکلی را تصور کنیم که تحت یک تغییر پیوسته و مشخص قرار می‌گیرد؛ و اجازه دهید برخی از خصوصیات کلی مربوط به آن شکل همواره صحیح باشد. بنابراین تا زمانی که آن تغییر، منحصر به بازة خاصی از حدود بماند، آن خصیصه متعلق به تمام حالات پی‌درپی شکل خواهد بود.»

دو دایرة متقاطع شاید ساده‌ترین مثالی باشد که می‌توان درنظرگرفت. با حل معادلات آنها، متوجه می‌شویم که دوایر در دو نقطة مشخص با هم تلاقی می‌کنند. طبق اصل تداوم، هرگونه تبدیل[20] پیوسته در این دایره‌ها – به‌عنوان‌مثال، دورکردن مراکز آنها از یکدیگر – این ویژگی اصلی را که در دو نقطه تلاقی می‌کنند، حفظ می‌کند. فقط وقتی مراکز آنها به‌اندازه کافی از هم دور باشد، جواب، شامل یک عدد موهومی است که از نظر فیزیکی قابل‌درک نیست (شکل را ببینید).

اصل تداوم

این اصل، که «داگسون» دلِ خوشی از آن نداشت، بیان می‌کند که شکل‌های ریاضی باید برخی از خواص اصلی خود را حتی تحت انتقال‌های شدید هم حفظ کنند. دو دایرة تصویر را که مراکز آنها در نقاط (0،0) و (2،0) قرار گرفته‌اند، درنظر‌بگیرید. این‌دو در دو نقطه یکدیگر را قطع می‌کنند. بر اساس اصل تداوم، حتی اگر از یکدیگر دور شوند و با یکدیگر در تماس نباشند، باز همچنان در دو نقطه متقاطع‌اند. بنابراین اگر دایرة آبی حرکت کند و مرکز آن در نقطه (5،0) قرار گیرد، دو دایره همچنان در دو نقطة (5/2,-3i/2) و (5/2,3i/2) متقاطع هستند.

(i=Ö-1).

واضح است که وقتی پونسله از «شکل‌ها» صحبت می‌کند، منظورش شکل‌های هندسی است، اما «داگسون» با بازیگوشی، استدلال «نیمه‌محاوره‌ای» پونسله را تحت تحلیل منطقی اکید قرار می‌دهد و آن را به شدیدترین نتیجه می‌رساند. آنچه برای یک مثلث درست است، باید برای یک کودک نیز درست باشد. درغیراین‌صورت، آن اصل اشتباه است، که باید در داستان نشان داده می‌شد. بدین‌صورت داگسون از طریق اصل تداوم، نوزاد را به خوک تبدیل می‌کند. مهم این است که کودک بیشتر ویژگی‌های اصلی خود را حفظ می‌کند، همانطور که هر جسمی که تحت یک تبدیل پیوسته قرار می‌گیرد، باید این‌گونه باشد. دست و پای او همچنان مانند یک کودک است، اما خودش شکلی عجیب دارد؛ بینی سربالا و چشمان کوچک. آلیس فقط وقتی عطسه‌هایش به خرخر خوک شباهت پیدا می‌کند، متوجه تغییر در او می‌شود.

ناراحتی کودک از کل فرایند و خشونت عریان دوشس، بی‌اعتمادی بدخیم داگسون به هندسة تصویری «مدرن» را اعلام می‌کند. همه در صحنة «خوک و فلفل» در انجام وظیفة خود، بد عمل می‌کنند. دوشس، یک نجیب‌زادة بد و مادری به‌مراتب بدتر است. زن آشپز هم یک آشپز بد است که اجازه می‌دهد آشپزخانه پر از دود شود، به سوپ بیش‌ازحد ادویه می‌زند و درنهایت انبرک‌ها ، قابلمه‌ها و بشقاب‌هایش را بیرون می‌اندازد.

آلیس که حالا از این وقایع عجیب عصبانی شده است، خانة دوشس را ترک می‌کند و وارد مهمانی چای «کلاهدوز دیوانه» می‌شود که در آن کار ریاضی‌دان ایرلندی، «ویلیام روآن همیلتون»[21] بررسی شده است. همیلتون در سال 1865، درست پس از انتشار کتاب آلیس درگذشت، اما حتی در آن زمان هم کشف چهارگان‌ها[22] توسط او (سال 1843) به‌عنوان یک نقطه‌عطف مهم در جبر مجرد[23] تحسین می‌شد، زیرا اجازه محاسبه دَوَران‌ها[24] را به‌صورت جبری می‌داد.

همان‌طور که اعداد مختلط با دو جمله ساخته می‌شوند، چهارگان‌ها نیز به یک دستگاه اعداد مبتنی بر چهار جمله تعلق دارند. همیلتون سال‌ها با سه جمله کار کرد (هرکدام برای یک بُعد از فضا) اما فقط می‌توانست آنها را در یک صفحه بچرخاند. وقتی چهارمی را اضافه کرد، دَوَران سه‌بعدی موردنظرش را به‌دست‌آورد، اما در ایده‌پردازی برای مفهوم این جملة اضافی مشکل داشت. او نیز مانند اکثر همعصران ویکتوریایی‌اش پنداشت که این جمله باید معنایی داشته باشد. بنابراین در مقدمة درسگفتارهای خود دربارة چهارگان‌ها در سال 1853 یک پاورقی اضافه کرد:

«به نظر من طبیعی می‌رسید (و هنوز هم به‌نظرمی‌رسد) که این واحد فَرافضایی با مفهوم زمان مرتبط باشد.»

همیلتون معتقد بود هرجا که هندسه، اجازة کاوش فضا را می‌دهد، جبر اجازة بررسی «زمان خالص» را می‌دهد؛ مفهومی نسبتاً مبهم که آن را از «امانوئل کانت»[25] گرفته بود و قرار بود نوعی «ایده افلاطونی» از زمان باشد، متمایز از زمان حقیقی که ما انسان‌ها تجربه می‌کنیم. ریاضی‌دانان دیگر در مورد این تصور، مؤدب اما محتاط بودند؛ با این باور که «زمان خالص»، عبور از مرز قابل‌قبول علمی است.

شباهت‌های بین ریاضیات همیلتون و مهمانی چای کلاهدوز[26] به‌طرز شگفت‌انگیزی زیاد است. آلیس اکنون بر سر یک میز با سه شخصیت عجیب‌وغریب قرار دارد: «کلاهدوز»، «خرگوش مارس» و «موش صحرائی». شخصیت «زمان» که با کلاهدوز اختلاف پیدا کرده است، غایب است و به‌دلیل رنجشی که دارد، اجازه نمی‌دهد که کلاهدوز ساعت‌هایش را از ساعت شش تغییر دهد.

با خوانش این صحنه از منظر ریاضیات همیلتون، سه عضوِ مهمانی چای کلاهدوز، معرّف سه جمله چهارگان‌ها هستند، که جملة مهم چهارم، «زمان»، غایب است. به ما گفته‌شده که بدون زمان، شخصیت‌ها در میز چایخوری گیر کرده‌اند، دائماً در اطراف می‌چرخند تا فنجان و نعلبکی‌های تمیز پیدا کنند.

حرکت آنها در اطراف میز یادآور تلاش‌های اولیة همیلتون برای محاسبة حرکت است که تا قبل از اضافه‌کردن زمان به مخلوط، به یک صفحه محدود بود. حتی وقتی آلیس به مهمانی می‌پیوندد، نمی‌تواند مانع از بی‌قراری کلاهدوز، خرگوش و موش صحرائی در اطراف میز شود، زیرا او یک واحد فرافضایی مانند زمان نیست.

معمای مهمل کلاهدوز در این صحنه – «چرا یک کلاغ مانند یک میز تحریر است؟» – قادر است دقیقاً تئوری «زمان خالص» را هدف قرار دهد. در قلمروی زمان خالص، همیلتون ادعا کرد که علت و معلول، دیگر به هم ربطی ندارند و جنون سؤالِ غیرقابل پاسخ‌دهیِ کلاهدوز می‌تواند آن را منعکس کند.

تلاش بعدی آلیس برای حل معما جنبة دیگری از چهارگان‌ها را به سخره می‌گیرد: ضرب آنها خاصیت جابه‌جایی ندارد؛ به این معنی که x × y همان y × x نیست. پاسخ‌های آلیس به همان‌شیوه، خاصیت جابه‌جایی ندارند. وقتی خرگوش به او می‌گوید که «منظورش را بگوید»، او جواب می‌دهد که «حداقل منظورم همان‌چیزی است که می‌گویم، عیناً مثل هم است». کلاهدوز جواب می‌دهد: «حتی یه کوچولو هم همان نیست!… عجبا! انگار بگویید، «من آنچه را می‌خورم، می‌بینم» مثلِ «من آنچه را می‌بینم، می‌خورم» است!»

این ایده‌ای است که ریاضی‌دان محافظه‌کاری مانند داگسون را به‌ستوه‌می‌آورد، زیرا جبرهای فاقد خاصیتِ جابه‌جایی، با قوانین اصلی حساب مغایرت دارند و دنیای غریب و جدیدی از ریاضیات را می‌گشایند که حتی انتزاعی‌تر از دنیای متخصصان جبر نمادی است.

وقتی صحنه به‌‌پایان‌‌می‌رسد، کلاهدوز و خرگوش در حال تلاش برای انداختنِ موش صحرایی در قوری هستند. این می‌تواند مسیر آنها برای رسیدن به «آزادی» باشد. اگر آنها فقط می‌توانستند او را حذف کنند، قادر بودند به‌طور مستقل وجود داشته باشند؛ همانند یک عدد مختلط با دو جمله. به باور داگسون، همچنان دیوانه اما رها از چرخشی بی‌پایان به دور میز.

و در اینجا به‌نظرمی‌رسد هجونامة داگسون از ریاضی‌دانان معاصرش به ‌پایان ‌رسیده ‌است. پس دوباره بپرسیم: بدون این قرینه‌ها چه‌چیزی از ماجراهای «آلیس در سرزمین عجایب» باقی می‌ماند؟ هیچ‌چیز مگر داستان کودکانة اصلی داگسون.

ماجراهای آلیس در زیر زمین، جذاب و فاقد‌ مهمل‌گویی‌های مرسوم داگسون است. داگسون بیش از هرزمان، هنگامی که به کسی کنایه‌می‌زد، شوخ‌طبعی‌اش را نشان می‌داد، مخصوصاً زمانی که موضوع، او را به‌راستی عصبانی کرده بود! او دو کتابچة پرهیاهو و خنده‌دار، به‌سبک اثبات‌های ریاضی نوشت که در آنها تغییرات در دانشگاه آکسفورد را به ‌سخره ‌می‌گرفت. اما در مقایسه با «آلیس در سرزمین عجایب»، داستان‌های دیگری که داگسون نوشت، کسل‌کننده و مملو از قضاوت‌های اخلاقی بود.

به‌جرئت می‌توانم بگویم که بدون طعنة شدیدِ داگسون که همکارانش را هدف قرار داده بود، ماجراهای آلیس در سرزمین عجایب هرگز مشهور نمی‌شد و از لوئیس کارول به‌عنوان «استاد بی‌نظیر داستان‌های بی‌معنی» یاد نمی‌شد.

 

ریاضیات موهومی

اعداد حقیقی شامل کسرها و اعداد گنگ مانند π هستند که می‌توانند به‌عنوان یک نقطه بر روی محور اعداد نشان داده شوند. اعداد حقیقی تنها یکی از چندین دستگاه اعداد موجود هستند.

به‌عنوان‌مثال، اعداد مختلط از دو جمله تشکیل شده‌اند: یک مؤلفة «حقیقی» و یک مؤلفة «موهومی» که شامل ضریبی از ریشه مربع 1- است (i=Ö-1) و با نماد i نشان داده می‌شود. آنها به‌فرم a + bi نوشته می‌شوند.

ویلیام روآن همیلتون، ریاضی‌دان دوره ویکتوریا، آن را یک قدم فراتر برد و دو جمله دیگر برای ساخت چهارگان‌ها اضافه کرد که  به‌فرم  a + bi + cj + dk  درآمده و قوانین حسابیِ عجیب‌وغریب خود را دارند.


[1] Alice in Wonderland

[2] Lewis Carroll

[3] Alice Liddell

[4] DPhil معادل Phd در دانشگاه آکسفورد و مخفف  Doctor of Philosophyاست.

[5] Victorian literature ادبیات انگلیسی متعلق به دوران سلطنت ملکه ویکتوریا (۱۹۰۱-۱۸۳۷). نوشته‌های مربوط به این دوران عمدتاً تغییرات مهم جامعه و زندگی انگلیسی را نشان می‌دهند.

[6] Charles Lutwidge Dodgson

[7] Christchurch

[8] «عدد موهومی» : (Imaginary number) یک عدد به‌شکل  ib{\displaystyle bi\,}است، به‌طوری کهb{\displaystyle b\,}  یک عدد غیر صفر و حقیقی است؛ همچنین {\displaystyle i\,} iنیز به‌صورت -1  (که به آن واحد موهومی نیز می‌گویند) تعریف می‌شود.

[9] Euclid’s Elements    مجموعه‌ای شامل ۱۳ کتاب منسوب به اقلیدس، ریاضی‌دان دوره یونان باستان

[10]  کیوئی‌دی (QED) مخفف جمله‌ای است از زبان لاتین (quod erat demonstrandum) که خود از یونانی برگرفته‌شده و به‌معنای «که باید نشان داده می‌شد» است. این ترجمه هم در برخی کتاب‌ها آمده: «اثبات شد آنچه باید (می‌شد)»، یا در نسخِ قدیمی نوشته می‌شده ‌است: «فهوالمطلوب»

[11] «تعلیق به محال» (reductio ad absurdum) به‌معنای «کاستن تا حد پوچی» در منطق، تلاشی است برای نشان دادن اینکه یک گزاره در نهایت خود نتایجی ناممکن، غیرعملی یا بی‌معنا را درپی‌دارد و ازاین‌رو نمی‌تواند حقیقت داشته باشد. در ریاضیات، برهان خلف براساس تعلیق به محال است.

[12] Augustus De Morgan

[13] Trigonometry and Double Algebra

[14] توضیح  مترجم: کلمة به‌کارگرفته‌شده در متن اصلی Temper است. این کلمه دارای معانی گوناگونی است که در اینجا مراد از استفاده آن دو مفهوم «خلق‌وخو» و «تناسب دو یا چندچیز با یکدیگر» است. اگر خواننده محترم به مفهوم «کسر» توجه کند که نسبت دو عدد به یکدیگر است، متوجه خواهد شد که نویسنده با تغییر سایز آلیس یا دراز شدن گردنش، تلاش در نشان دادن این مفهوم دارد که اندازة مطلق و یا مبنای 10 اعداد در ریاضیات جدید بی‌اهمیت است. تناسب اندام‌های آلیس نسبت به یکدیگر است که اهمیت دارد و نه اندازه دقیق قد او؛ همچنان که درست بودن محاسبات ساده ریاضی مانند جدول ضرب است که اهمیت دارد و نه مبنایی که اعداد در آن نوشته می‌شوند. این مبناهای مختلف و دستگاه‌های جدید اعداد، ریاضی‌دان محافظه‌کاری مثل داگسون را کلافه می‌کرد. او این گیجی در دنیای مبناهای مختلف را با تغییر سایز و اجزای بدن آلیس نشان می‌دهد.

[15] توضیح مترجم: دستگاه اعدادی که در مدارس آموزش داده می‌شود و همه ما به آن عادت کرده‌ایم، برمبنای دَه است. اما می‌توان اعداد را در مبناهای مختلفی نوشت؛ به‌عنوان‌مثال عدد 13 در مبنای 2 برابر با 1101 خواهد بود.

[16] justice tempered with mercy عبارت از انجیل است.

[17] عمل تصویر کردن در هندسه مدنظر است.

[18] قانون تداوم: Law of Continuity

[19] Jean-Victor Poncelet

[20] Transformation

[21] William Rowan Hamilton

[22] چهارگان‌ها یا کواترنیون‌ها (Quaternion) یک سیستم عددنویسی هستند که به بسط اعداد مختلط می‌انجامند. چهارگان‌ها اولین‌بار توسط ویلیام روآن همیلتون در اکتبر سال ۱۸۴۳ ابداع و ارائه شد و از آن پس این مفهوم در مکانیک و در فضای سه‌بعدی مورد استفاده قرار‌گرفته‌است.

 [23] :Abstract Algebraدر جبر، که بخش وسیعی از ریاضیات است، «جبر مجرد» (که اغلب به آن «جبر مدرن» می‌گویند) به مطالعة ساختارهای جبری می‌پردازد. ساختارهای جبری شامل گروه‌ها، حلقه‌ها، میدان‌ها، مدول‌ها، فضاهای برداری، شبکه‌ها و جبر‌ها می‌باشند. عبارت «جبر مجرد» در اوایل قرن بیستم برای تمایز این حوزة مطالعاتی از بخش‌های دیگر جبر ایجاد شد.

[24]Rotation: «دَوَران» یا «چَرخِش» مفهومی در ریاضیات است که از هندسه سرچشمه می‌گیرد و به گرداندن یک شکل، پیرامون یک نقطه یا خط می‌گویند.

[25] Immanuel Kant

[26] یا شاید باید «تی-پارتی» خوانده شود، زیرا حرف اول کلمة «تایم» تی است.

آخرین مقالات منتشر شده

هنر، علم و محل تلاقی دانش

«اریک دورفمن»[1]، مدیر موزۀ تاریخ طبیعی «کارنگی». او بر ابتکارها، عملیات و تحقیقات استراتژیک موزه نظارت دارد. دورفمن از مدافعان میراث طبیعی و فرهنگی است و کتاب‌هایی دربارة «تاریخ طبیعی»

ادامه مقاله »

پایان هنر یا ظهور هنر بی پایان؟

در توئیتی به «گرایمرز»[1] گفتند: «فاشیست سیلیکون‌ولی»[2]، چراکه وقتی این خوانندة مشهور پاپ در برنامة پادکستِ یک اخترفیزیک‌دان اعلام کرد که ما در «پایان هنر و مشخصاً پایان هنر انسانی»

ادامه مقاله »

داروین، تکامل و اقتصاد

معرفی نویسنده: کالین مک‌گین (زادۀ 10ام مارچ 1950) فیلسوفی انگلیسی است که بیش از بیست کتاب را (از جمله طبیعت ذهن، حس آگاهی و ابژه‌های آن و پیدایش یک فیلسوف)

ادامه مقاله »

هنر آینه فیزیک، فیزیک آینه هنر

اینشتین[1] و پیکاسو[2]: فضا، زمان و زیبایی که طوفان به‌پامی‌کند!   «استفان جی. براش»[3]، مورخ علم در دانشگاه «مریلند» (معرفی کتابی از «آرتور آی. میلر»[4]) مترجم: مهسا لزگی، دانشجوی دکترای

ادامه مقاله »

تا بی نهایت و فراتر از آن!

«اوواین گریفین»[1] از محدوده اعداد فراتر می‌رود و به مفاهیم می‌رسد. معرفی نویسنده: «اوواین گریفین» اخیراً در مقطعِ کارشناسی ارشد منطق و فلسفة ریاضیات از دانشگاه «بریستول» فارغ‌التحصیل شده است.

ادامه مقاله »

خوش آمدید!

لطفا از طریق فرم زیر به حساب کاربری خود وارد شوید

بازیابی گذرواژه

لطفا جهت بازیابی گذرواژه، نام کاربری و یا ایمیل خود را وارد نمائید.

ورود / عضویت

Add New Playlist